Согласно ст. 207 СК РУ, если родители не состоят между собой в браке, запись о матери ребенка производится по заявлению матери, об отце ребенка – по совместному заявлению отца и матери ребенка либо на основании решения суда. Если нет заявления или решения суда, то фамилия отца ребенка в книги записей о рождении записывается по фамилии матери, имя, отчество и национальность отца ребенка – по ее указанию.

При установлении отцовства по заявлению родителей или в судебном порядке, дети имеют такие же права и обязанности по отношению к родителям и их родственникам, какие имеют дети, родившиеся от лиц, состоящих в браке между собой. (ст. 64 СК РУ).

Таким образом, если вы впишите своего гражданского мужа в свидетельство о рождении ребенка, то он имеет право на воспитание ребенка и соответственно обязанность по его содержанию.